Was ist der Mittelwert? | Mittelwert berechnen mit Beispielen
Der Mittelwert eines Datensatzes (auch als arithmetischer Mittelwert bezeichnet) ist die Summe aller Werte geteilt durch die Gesamtzahl der Werte. Er ist das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz und wird oft als „Durchschnitt“ bezeichnet.
Kernaussagen
- Der Mittelwert ist der Durchschnitt einer Datenmenge. Er ergibt sich aus der Summe aller Werte, geteilt durch die Anzahl der Datenpunkte.
- Der Mittelwert ist eines der wichtigsten Maße der zentralen Tendenz. Er wird verwendet, um einen typischen Wert oder Durchschnittswert innerhalb einer Datenmenge darzustellen.
- Der Mittelwert kann durch Ausreißer beeinflusst werden. Wenn ein oder mehrere Datenpunkte deutlich höher oder niedriger sind als die übrigen, gibt der Mittelwert die Datenmenge möglicherweise nicht genau wieder.
Formeln für den Mittelwert bei Grundgesamtheiten und Stichproben
In der Forschung werden häufig Daten aus Stichproben erhoben und Methoden der inferentiellen Statistik angewendet, um die Grundgesamtheit (Population) zu verstehen, aus der sie stammen.
Die Formeln für den Stichprobenmittelwert und den Populationsmittelwert unterscheiden sich lediglich in der mathematischen Notation. Populationsmerkmale werden mit Großbuchstaben geschrieben, während Stichprobenmerkmale mit Kleinbuchstaben geschrieben werden.
Populationsmittelwert: Formel
| Populationsmittelwert | Erläuterung |
|---|---|
 |
|
= Populationsmittelwert
= Summe aller Werte der Grundgesamtheit
= Anzahl der Werte in der GrundgesamtheitDer Populationsmittelwert kann auch mit dem Buchstaben μ dargestellt werden.
Stichprobenmittelwert: Formel
| Stichprobenmittelwert | Erläuterung |
|---|---|
 |
|
Der Stichprobenmittelwert wird auch als M bezeichnet.
Wie berechnet man den Mittelwert?
Die Berechnung des Mittelwerts erfolgt in zwei Schritten:
- Addiere alle Werte des Datensatzes.
- Teile diese Summe durch die Anzahl der Werte.
Lass uns diese Schritte anhand eines Beispiel-Datensatzes durchgehen.
Nehmen wir an, du möchtest herausfinden, wie viel Menschen im Durchschnitt für eine Mahlzeit in einem Restaurant in deiner Nachbarschaft ausgeben. Du befragst eine Stichprobe von 8 Nachbarn, wie viel sie bei ihrem letzten Restaurantbesuch ausgegeben haben, und berechnest die durchschnittlichen Kosten.
| Preis für ein Abendessen für zwei Personen in Euro | 42 | 13 | 31 | 87 | 24 | 58 | 76 | 69 |
|---|
Schritt 1: Berechne die Summe der Werte
Da wir mit einer Stichprobe arbeiten, verwenden wir die Formel für Stichproben.
| Formel | Rechnung |
|---|---|
 |
42 + 13 + 31 + 87 + 24 + 58 + 76 + 69 = 400 |
Schritt 2: Teile die Summe durch die Anzahl der Werte
In der Formel steht n für die Anzahl der Werte im Datensatz. Unser Datensatz enthält 8 Werte.
| Formel | Rechnung |
|---|---|
 |
 = 8 = 400 = 400  8 = 50 |
Der Mittelwert zeigt uns, dass die Teilnehmer in unserer Stichprobe durchschnittlich 50 Euro bei ihrem Restaurantbesuch ausgegeben haben.
Auswirkung von Ausreißern auf den Mittelwert
Ausreißer sind Extremwerte, die von den meisten Werten des Datensatzes abweichen. Da bei der Berechnung des Mittelwerts alle Werte berücksichtigt werden, kann ein Ausreißer den Mittelwert drastisch beeinflussen und ihn von den meisten Werten entfernen.
Schauen wir uns an, was mit dem Mittelwert passiert, wenn wir unserem Datensatz einen Ausreißer hinzufügen.
| Preis für ein Abendessen für zwei Personen in Euro | 42 | 13 | 31 | 87 | 24 | 58 | 76 | 69 | 230 |
|---|
Schritt 1: Berechne die Summe der Werte
| Formel | Rechnung |
|---|---|
|
42 + 13 + 31 + 87 + 24 + 58 + 76 + 69 + 230 = 630 |
Schritt 2: Teile die Summe durch die Anzahl der Werte
| Formel | Rechnung |
|---|---|
|
= 9 = 630 = 630 9 = 70 |
Wie wir sehen können, hat das Hinzufügen eines Ausreißers zu unserem Datensatz den Mittelwert um 20 Euro erhöht. In diesem Fall wäre es sinnvoller, ein anderes Maß der zentralen Tendenz zu verwenden, beispielsweise den Median.
Wann kann man den Mittelwert, den Median oder den Modus verwenden?
Der Mittelwert ist das am häufigsten verwendete Maß der zentralen Tendenz, da bei seiner Berechnung alle Werte berücksichtigt werden. Welches Maß der zentralen Tendenz am besten geeignet ist, hängt von der Art der Variablen und der Form der Verteilung ab.
Art der Variablen
Der Mittelwert kann nur für quantitative Variablen (z. B. Körpergröße) berechnet werden, nicht jedoch für kategoriale Variablen (z. B. Geschlecht).
Bei kategorialen Variablen werden die Daten ohne genaue numerische Werte gruppiert, sodass der Mittelwert nicht berechnet werden kann. Bei kategorialen Variablen ist der Modus das beste Maß der Zentralität, da er das häufigste Merkmal oder die häufigste Option in der Stichprobe angibt.
Bei quantitativen Variablen (egal ob kontinuierlich oder diskret) liegen jedoch genaue numerische Werte vor. Anhand dieser Werte lassen sich der Mittelwert oder der Median leicht berechnen.
Verteilungsform
Der Mittelwert ist die beste Wahl für Datensätze mit Normalverteilung. Bei einer Normalverteilung sind die Daten symmetrisch verteilt, ohne Asymmetrie. Die meisten Werte gruppieren sich um einen zentralen Bereich, und ihre Anzahl nimmt ab, je weiter sie sich vom Zentrum entfernen.
Mittelwert, Modus und Median sind bei einer Normalverteilung exakt gleich.
Bei asymmetrischen Verteilungen liegen mehr Werte auf einer Seite des Zentrums als auf der anderen, und Mittelwert, Median und Modus unterscheiden sich voneinander. Eine der Seiten weist einen ausgeprägteren und längeren Schwanz auf, wobei an einem Ende weniger Werte vorhanden sind als am anderen.
Bei asymmetrischen Verteilungen und solchen mit Ausreißern wird der Mittelwert leicht von den Extremwerten beeinflusst und gibt den zentralen Trend möglicherweise nicht genau wieder. Der Median ist für diese Verteilungen ein geeigneteres Maß, da er einen Wert aus der Mitte der Verteilung berücksichtigt.
Alternativ kannst du deinen Datensatz systematisch überprüfen und Ausreißer während der Datenbereinigung entfernen.
Den arithmetischen Mittelwert berechnen
Du kannst den Mittelwert von Hand oder mithilfe unseres unten stehenden Rechners für den arithmetischen Mittelwert berechnen.
Häufig gestellte Fragen zum Mittelwert
- Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?
-
Der Median und der Mittelwert sind zwei verschiedene Möglichkeiten, die Mitte einer Datenreihe zu bestimmen.
- Der (arithmetische) Mittelwert wird berechnet, indem alle Werte addiert und anschließend durch die Anzahl der Werte geteilt werden.
- Der Median ist dagegen der Wert, der in der Mitte einer aufsteigend oder absteigend sortierten Datenreihe liegt.
Beispiel Betrachten wir die Werte:2, 3, 4, 5, 100
Der Mittelwert beträgt:
(2 + 3 + 4 + 5 + 100) ÷ 5 = 22,8
Der Median ist hingegen 4, da 4 in der sortierten Datenreihe in der Mitte steht.
Der große Unterschied zeigt sich bei Ausreißern: Der Mittelwert wird durch besonders hohe oder niedrige Werte stark beeinflusst. Der Median bleibt von solchen Ausreißern weitgehend unberührt.
- Was ist ein gewichteter Mittelwert?
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Der gewichtete Mittelwert ist ein Durchschnitt, bei dem nicht alle Werte gleich stark berücksichtigt werden. Stattdessen erhält jeder Wert ein bestimmtes Gewicht, das angibt, wie wichtig oder häufig er ist.
Zum Beispiel zählen bei einer Schulnote die einzelnen Prüfungen möglicherweise unterschiedlich stark: Eine Klausur kann mit 60 % und ein Test mit 40 % in die Gesamtnote eingehen.
Die Formel lautet:
* Gewichteter Mittelwert = (Wert₁ × Gewicht₁ + Wert₂ × Gewicht₂ + …) ÷ (Summe der Gewichte)
Beispiel Eine Klausur wird mit 60 % gewichtet und mit der Note 2 bewertet. Ein Test wird mit 40 % gewichtet und mit der Note 3 bewertet.Der gewichtete Mittelwert beträgt:
(2 × 0,6) + (3 × 0,4) = 2,4
Die Gesamtnote liegt also bei 2,4.
- Wie heißt „Mittelwert“ auf Englisch?
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„Mittelwert“ heißt auf Englisch mean. In der Mathematik und Statistik wird häufig genauer zwischen arithmetic mean (arithmetischer Mittelwert), weighted mean (gewichteter Mittelwert) und anderen Arten von Mittelwerten unterschieden.
Der arithmetische Mittelwert wird auf Englisch meist als arithmetic mean oder einfach mean bezeichnet. Er wird berechnet, indem man alle Werte addiert und die Summe durch die Anzahl der Werte teilt.
Beispiel Bei den Werten 4, 6 und 8 beträgt der Mittelwert:(4 + 6 + 8) ÷ 3 = 6
Auf Englisch kann man sagen: “The mean is 6.”
